დაიბადა მღვდლის, დეკანოზი პლატონ ნიკოლოზის ძე ელიაშვილის ოჯახში. 1859 წელს თბილისის სასულიერო სემინარიაში ჩაირიცხა, რომელიც 1865 წელს დაამთავრა და თბილისის სასულიერო სასწავლებელში მასწავლებლად დაინიშნა. 1866 წელს ესტატე ელიაშვილი დიაკვნად აკურთხეს, ხოლო შემდეგ მღვდლად დაასხეს ხელი და თბილისის წმინდა მარინეს ეკლესიის მღვდელმსახურად განამწესეს. 1873 წელს იგი თბილისის სასულიერო სასწავლებლის ზედამხედველის თანაშემწედ, წმინდა მარინეს სახელობის ეკლესიის წინამძღვრად და წმინდა ნინოს სახელობის ქალთა სასწავლებელში საღვთო სჯულის მასწავლებლად დაინიშნა. 1880 წლიდან თბილისის ვაჟთა მე–2 გიმნაზიაში საღვთო სჯულის მასწავლებლად გადაიყვანეს. 1879 წლიდან იგი იყო „ქართველთა შორის წერა–კითხვის გამავრცელებელი საზოგადოების“ ნამდვილი წევრი და აქტიურ მონაწილეობას ღებულობდა საზოგადოების საქმიანობაში.
1884 წელს ესტატე ელიაშვილს დეკანოზის წოდება მიენიჭა და სიონის საკათედრო ტაძრის კანდელაკად განამწესეს. 1887 წელს წმინდა ანას III ხარისხის ორდენით დაჯილდოვდა. 1891 წელს იგი გადადგა სიონის ტაძრის კანდელაკობიდან და მასწავლებლობაზეც უარი განაცხადა. ამავე წლიდან ჟურნალების – „საქართველოს საეგზარქოსოს სასულიერო უწყებანის“ და „პასტორის“ ცენზორად დაინიშნა. 1891 წელს წმინდა ანას II ხარისხის ორდენი ეწყალობა. 1892 წელს წმინდა სინოდის განჩინებით, საქართველო-იმერეთის სინოდალური კანტორის წევრად იქნა არჩეული.
1895 წელს წმინდა ვლადიმერის IV ხარისხის ორდენით დაჯილდოვდა. 1899 წელს ენქერი უბოძეს, ხოლო 1902 წლიდან თბილისის ქაშვეთის წმინდა გიორგის ეკლესიის წინამძღვრად დაადგინეს. 1903 წელს წმინდა ვლადიმერის III ხარისხის ორდენი მიიღო და ამავე წლის ნოემბერში დეკანოზი ესტატე სანქტ-პეტერბურგში გაიწვიეს. საქართველოს ეგზარქოსმა ალექსი I სანქტ-პეტერბურგის წმინდა ალექსანდრე ნეველის სახელობის ლავრაში იგი ბერად აღკვეცა და სახელად ექვთიმე უწოდა. ბერი ექვთიმე თბილისის მაცხოვრის ფერისცვალების სახელობის მამათა მონასტრის წინამძღვრად დაინიშნა და არქიმანდრიტის წოდება მიენიჭა. არქიმანდრიტი ექვთიმე წმინდა სინოდმა ალავერდის ეპარქიის მღვდელმთავრად დაამტკიცა. ამავე წელს წმინდა ალექსანდრე ნეველის ლავრის ყოვლადწმინდა სამების სახელობის ტაძარში ეპისკოპოსად დაასხეს ხელი და ალავერდის ეპარქიის მმართველად და საქართველოს ეგზარქოსის მეორე ქორეპისკოპოსად დანიშნეს. 1905 წელს ეპისკოპოსი ექვთიმე გორის ეპარქიაში გადაიყვანეს. 1906 წლის ივნისში სანქტ-პეტერბურგში გამართულ კრებაზე, სადაც საქართველოს ავტოკეფალიის საკითხი განიხილებოდა, მან რუსეთის ეკლესიის მხარე დაიჭირა და ამის გამო საქართველოში დაბრუნება ვეღარ შეძლო. იგი ნიჟნი-ნოვგოროდის ეპარქიის ბალახნინის ეპისკოპოსად დაინიშნა. 1909 წელს ჯანმრთელობის გაუარესობის გამო, თავისი თხოვნის საფუძველზე, პენსიაზე გავიდა და მოსკოვში გადავიდა. აქ იგი სტავროპიგიალური ზაიკონოსპასკის სახელობის მამათა მონასტრის წინამძღვრად დაინიშნა. 1911 წლიდან მოსკოვის სინოდალური კანტორის უშტატო წევრია. 1914 წელს ეპისკოპოსი ექვთიმე მოსკოვის მაცხოვრის სახელობის სტავროპიგიალური მამათა მონასტრის წინამძღვრად გადაიყვანეს, სადაც სიცოცხლის უკანასკნელი წლები გაატარა. ცნობილია, რომ 1918 წელს ეს მონასტერი კომუნისტებმა საპატიმროდ გადააკეთეს და მათთვის არასასურველი პირები გამოამწყვდიეს. ვარაუდობენ, რომ ეპისკოპოსი ექვთიმეც ამ პატიმართა რიცხვში იყო და იგი იმავე წელს გარდაიცვალა.